主持人：各位网友大家下午好！欢迎来到腾讯嘉宾聊天室，现在我们腾讯教育频道和华夏大地教育网对大家推出自考前名师面对面的活动，今天我们请到的是高等数学（工本）教材的主编，也是我们这次自考辅导教师高瑞老师。高瑞老师你好！

    高瑞：你好！各位网友大家好！

    主持人：今天我们这次活动跟前几次一样，首先我们会请高老师就这门课程前期的复习方法和章节跟大家讲一讲，然后我们会抽出一部分时间给高老师解答一些问题，现在各位网友如果有疑问可以在聊天室留言，等一下我们请高老师解答。下面请高老师对四月份要考试的章节和复习的方法对大家做一个整体的介绍。

    高瑞：各位网友大家好！今年四月份高等数学（工本）有些章节改变了，这次改变比较大，以前包括单元微积分、多元微积分，空间解析几何和向量代数常微分方程和无穷级数等内容，改版之后去掉了一元函数微积分只包括空间解析几何和向量代数、多元函数微积分、常微分方程和无穷级数等内容。我认为这次改版没有更加提高要求。我感觉到这次改版要求比过去更加实事求是，所以下面我想针对改版各个章节的要求，一些细节首先给大家介绍一下。

    比如说在空间解析几何和向量代数部分，新大纲二次曲面部分，大家知道在空间解析几何二次曲面部分是比较困难的，特别是双曲面、双曲抛物面等等，这次取消了双曲面的要求，二次大纲主要要求旋转曲面、柱面、椭球面、旋转抛物面等等这些，要求比过去内容要减少。

    另外，在多元微积分部分，当然也增加了一些新的内容，比如说增加了方向导数和梯度的概念，这个概念在实际当中非常有用，所以也是很重要，但是从考的角度，主要是给你一个函数，让你求出它的梯度，让你求出他的方向导数，只要把公式记住了，还是非常容易的。所以，并没有增加难度。
关于复合函数求导部分，在新大纲里面，明确规定对抽象函数求导的时候，只效果三种类型，因为复合函数构成的偏导数以前有一阶二阶，比较困难，现在只明显对三种比较简单的类型复合函数求一阶偏导数，所以这个要求是很明确，很实事求是的。

    复合函数求导法则，原来是要求综合应用，现在强调简单应用，层次降低了。另外，关于条件极值的问题，明显说了，只要求有一个附加条件的情况，只要求会做多元函数在一个元素条件下的极值问题。所以大家可以体会到这个改革的用心是更加实事求是的。

    关于重积分的应用，过去包括几何应用和物理应用，而现在明确规定要会用重积分，计算面积、体积和物质曲面和空间物体的质量，而去掉了原来大纲中要求重心和转动惯量的要求。在曲线积分和曲面部分，新大纲没有要求两个曲面积分之间的关系，新大纲增加了高斯公式，但是高斯公式主要用来计算封闭曲面上的对坐标曲面的积分问题，可以转化为三重积分的计算，这样就使得对坐标曲面的积分计算大大化简了。

    过去虽然在内容上没有高斯公式，内容少一点，但是对坐标曲面积分计算上就比较困难了。增加了这个公式之后，主要是计算对坐标的曲面积分，主要是计算封闭曲面上对坐标的曲面积分。这样就转化为重积分的计算，这样就比较简单了。所以表面上内容增加了，实际上给了大家非常好的工具，计算起来就很方便了。过去我们在助学过程中，虽然教材里面没有这个公式，但是我们还会讲，主要给大家提供一个方便的工具。

    新的大纲在这方面增加了三度的内容。这个给大家负担并没有增加什么，只是增加了一个概念，就是会求散度就可以了。曲面积分应用方面也很明确，要求利用曲线便利和沿曲线做的几何应用。

    在常微分方程里面，明确提出了三类方程，包括可分离变量微分方程、齐次方程和一阶线性微分方程而去掉了全微分方程，大家也可以看到，掌握起来就比较容易了。

    另外，关于二阶常系数，线性非齐次微分方程，这就要求明确提出了，只要求非齐次，具有这样的非齐次微分方程，就是有了方程以后，给了非齐次项以后，这个方程的特解应该具有什么形式，这部分要求也比过去减低了。关于函数的泰勒展开式，要求熟记EX，1—X分之一，这几个泰勒展开式，而对1×阿发次方比较难一些，这不要求大家记住了。关于傅列级数，只要求从负派到正派上在二级上展开傅列级数。从细节，大家都可以看到，新的大纲比过去的大纲内容上减少了，要求上也更加实事求是了，更强调掌握基本的内容，大家听了这个因为，应该更充满信心去参加考试。

    大家都希望说说哪些是重点章节。高数（工本）跟其它课程不太一样，比如说概率统计课，概率统计课有些章节非常重要，有些章节相对我们学生来说就不是特别重要。虽然题目说要覆盖到章，但是覆盖到章的时候，可能章的出现也就是选择题、填空题，但是我们高数（工本）不太一样，我们这六章是基本平衡的，不好说哪一章是重点，只是曲面积分、曲线积分相对来说低一点。
我想对于每一章的重点说一下，希望大家掌握每一部分的知识点，根据这个知识点解答题目心里就比较有数了。我们按章来说。

    第一章解析几何与向量代数，这里面有几点，一部分是向量代数运算，包括向量的坐标。主要还是怎么利用坐标来进行向量的加减法、数乘以及向量级和数量级，并且给了向量你会求它的长度，会求两个向量之间的夹角，求判断两个向量相互平行，相互垂直，知道他们的充分必要条件。怎么会用向量。比如说用两个向量的向量积求出两个垂直的向量。

    第二，空间中的平面与直线。平面方程希望大家抓住平面的点法式方程，你要确定一个平面方程来说，你只要知道这个平面的点和法向量就可以把这个平面写出来。除了这个以外，平面还有一般式方程，任何一个三元一次方程都表示一个空间的平面，这两个之间的关系，给了这个平面方程，一般式方程，你能够从平面的一般式方程里面确定平面的法向量，这样就把这两类方程联系起来。

    关于直线方程重点是直向式方程，知道这个直线的点和方向式向量，就可以直接写出这个直线的方程。除了直线式方程之外还有点向式方程，就是把直线看成两个平面的交线。那么你想一想，根据一般式方程，实际上就是给了两个平面的方程，直线是这两个平面的交线，你怎么根据平面方程确定方向向量，从而使这个方程写出直线的点向式方程。这是平面方程和直线方程最基本的要求。

    第三，简单的二此曲面。这部分跟过去比有很大的差别。这次要求主要是几个简单的二次曲面，比如说球面、椭球面、母线平行于坐标轴的柱面，知道这几个面的方程特点，您能够判断这个放表示的是什么样的曲面。这样在选择题、填空题里面都可能会出到这样的题目。还有圆锥面，这也是经常用的，因为这给重积分和曲面积分做准备。

    还有旋转抛物面，你要分清什么是旋转抛物面，什么是锥面。大家想想锥面方程边是直的，所以它是直线，所以方程是Z平方等于X平方加Y平方，这是我拿最简单的锥的例子。
旋转抛物面跟它有什么不同呢？它不是Z平方等于X平方加Y平方，对应是Z等于X平方加Y平方，如果你看一下截横的话，让Y等于0，Z等于X平方，这就是它的抛物曲线。你要了解这两个方程有什么不同。这是关于解析几何部分，主要的重点在这几个知识点。

    第二章，多元函数微分学部分，它的重点一个是求二元函数、三元函数，这个主要是指出显函数，它的一阶偏导数和二阶偏导数，这是给具体的显函数，也会求全微分。复合函数和隐函数主要是求一阶偏导数，还有极值一起应用，另外求曲面上的一点的切平面方程和法线方程，求空间曲线上的一点的切线方程和法平面方程。

    第三章重积分的观点，主要是二重积分的计算，二重积分主要是简单区域的利用直角坐标，X型区域、Y型区域上的二重几分化为二次积分，还有用二次积分交换积分次序，比如说给一个抽象函数之外，他告诉你直角坐标的二重积分区域是什么样的区域，然后你能不能给它换成极坐标下的二重积分，这个转换公式大家要熟悉。另外，哪些区域适合应用极坐标来做二重积分这点大家要掌握。

    关于三重积分，要求你会用直角坐标，球面坐标、柱坐标来计算三重积分，特别是对球面坐标计算很简单的，你不要用特别复杂的。我想这不会考到特别复杂的三重积分。

    对于第四章，曲线积分和曲面积分，主要是计算，就是大家掌握这个计算公式的时候，你要看FX或者F、X、Y，或者F、X、Y、Z，这些积分变量都应该在积分区域上，如果是重积分就应该在二重积分在平面区域上，三重积分在空间的区域上，如果是曲面积分就应该在曲面上，曲线积分就应该在曲线上。因为他们在积分区域所以就应该满足积分区域的方程。除此之外，还要满足DX，DY是二重积分的面积圆，三重积分体积圆的公式应该是怎样的，大家都应该掌握。

    这部分例外还有一个格林公式和高斯公式，希望大家能够掌握，利用格式公式怎么样计算曲线积分，同时格林公式可以进一步讨论线积分和路径无关的问题。同时在曲面积分部分，对面积的曲面积分大家要掌握公式，对坐标的积分坐标要会用格林公式计算对坐标的曲线积分。

    对于常微分方程，重点是一阶微分方程类型的判别及解法，二阶常系数线性方程的解法，非齐次方程特解的形式。
    对于无穷级数部分，重点是数项级数里面，几何级数，P级数，正项级数审敛法，达朗贝尔审敛法，比较审敛法的极限形式。同时还有较错级数的莱布尼兹审敛法，绝对收敛和条件收敛。

    对于幂级数，需要掌握收敛区间和收敛域，还有怎么利用几何求和来求幂级数和函数。给了一个公式要会求出他的傅立叶级数，并且知道从哪个点到哪个点就可以了。

    应该说大纲没有给大家提高难度，要求大家实事求是，只要大家抓住这些重点、测试点，有应该能够取得满意的成绩。也预祝大家能够取得好成绩。

    主持人：非常感谢高老师这番精彩的讲解，我希望所有的网友在这段时间也会受益匪浅，接下来高老师来回答大家的问题，我们也看到网友迫不急待地发问，我们在其中选一些比较典型的问题。大家也提到了教材的改版，请您比较一下，教材改版前后考试难度的变化。

    高瑞：实际上从我刚才介绍的情况，我想大家就能够理解到，改版的目的，我体会，从考试中心的要求来说并没有说通过改版提高难度。新的大纲减少了内容，使大家更集中精力复习多元微积分，多元微积分要求大家要有基本的概念和计算。我想并没有提高难度，所以大家应该放心大胆地认真准备，积极地参加这个考试。

    主持人：大家不要太在意这个教材的改版，其实考试的内容还是以前的。

    高瑞：而且有些部分我已经说过了，比如说原来综合应用，现在降到了简单应用。另外，从最后的考试，大家可以看一下新的大纲，从考试难、易分配上，实际要求的题目分量提高了。，所以，总的来说并没有提高难度，希望大家能够放松，不要弄的很紧张。确实新的改版以后，考试的内容会有很大的变化，以后过去，大家也注意到了，以前的题目里面，很多的试卷单元微积分要占到50%，现在单元微积分已经不在我们考试之列了，这样大家可以集中精力复习多元微积分和新的大纲要求的这些内容。

    实际上单元微积分要出难题也大有难题可出，少复习那么多，对你还说还是轻松不少。

    主持人：大家应该对这个答案非常得满意，解除了大家的后顾之忧。

    网友：现在离考试越来越近了，差不多就一个月时间，请问高老师，您觉得在这一个月的时间里，我应该怎样去复习，用一些怎样的方法和步骤复习？

    高瑞：怎么复习，我想绝大多数同学都已经学完了这些内容，最后是总结复习的阶段。所以，我想最好把各个章，主要的概念，主要的公式做一个系统的复习。因为我们这次改版以后的试卷，大家也看到了样卷，样卷里面主要考的是计算题，因为有12道计算题占60分，综合题实际上多数也是计算题，当然也不排除会考到别的，但也是计算的。即便有证明题，我想也是计算类型的证明题。比如说求偏导数，偏导数满足一个什么样的公式让你去证明，实际上比计算题还要容易，因为已经告诉你结果了。主要大家要掌握怎么计算，掌握概念、掌握公式，前面主要是靠基本概念和基本公式，所以大家对概念和公式一定要熟悉。在华夏大地教育网里面我也做了串讲，大家去看看那个串讲，我想对大家的复习也会有帮助。还有模考部分，模考部分我出了6份试卷，其中我出了3份。

    我希望大家知道这道题的测试点是什么？进一步把公式记熟，在这个基础上再去做题，我觉得多数同学，如果过去做了一定数量的题，现在不必做很多新的题目，要把这些新的题目独立得做一做。有的同学说，我看了，但是考试的时候绝不是发一份题给你看一看、你懂不懂，考试的目的是让你独立地做，所以现在复习的时候，我希望大家注意狠抓基本概念，基本公式。

    另外做题的时候要按实战出发，按照考试的要求来做这个题目，而不是看看，知道这个题我确实看过，知道哪页写着呢，就是答不上来了，这就麻烦了。我们华夏大地教育网上有我的串讲，时间也不长，大家可以去看看。主要的测试点，那里面全都包括在进去了，另外有模考题，大家可以先听一部分，然后留下三份题，你觉得到自己复习得差不多了，可以检查检查。我希望大家从实战出发，考试怎么要求你就怎么做，考试的时候不让翻书翻笔记，你做模考题的时候也不要翻书翻笔记。我想这样去学习，把主要公式记住了，又这样作题，你的考试一定没有问题的。

    网友：学习中涉及到大量的空间几何题，想问一下，学空间几何题的时候，有什么好的方法吗？

    高瑞：空间解析几何部分是培养你的空间想象力，但是空间想象力的培养不是一朝一夕的，不是一日之功，但是我们新的大纲要求还是非常实事求是的，比如说锥，大家到处都可以看到锥，我想这应该不会成为困难。最主要的是柱面，特别是圆柱面，大家会觉得困难。还有就是旋转的抛物面。刚才我已经说过了这几种。你说我要专门提高空间想象力，我觉得不必了，但是要求这些基本的，你掌握了，这几个的基本方程是什么，知道根据这个方程曲面是什么样，你把这几个图形画一画，脑子里面深刻一点，我觉得就行了。

    主持人：这些方法希望大家认真做到，应该还会有长进的。有些网友还是问到考试的问题了。

    高瑞：肯定的，大家现在关心考试，作为老师，我也关心考试。

    网友：高数（工本）是一元微积分学的深入，在复习的时候，是不是把所有的一元微积分加以复习？

    高瑞：我想你学高数（工本）就已经有了一元微积分的基础，所以系统复习一元微积分是没有必要的，只是说个别的积分我不会算了，我区查查微积分就行了。到了多元微积分里面。我一般看法，一元微积分单独考积分的时候，可能会比较难一些，比如说Ctg求积分或者微积分，同学觉得比较困难，二重积分里面还有可能遇到，到了三重积分，遇到比较复杂积分的可能性还是比较小的。而且现在已经明确了考多元微积分了，原来的大纲的要求，我们要复习单元微积分，现在让我们的复习精力更为击中了。

    主持人：时间关系，我们问最后一个问题。

    网友：请老师点拨一下，在考试过程中需要注意一些什么问题？

    高瑞：我希望大家考试之前复习完了之后，临考之前大家放松一点，休息好，保持身体健康，我认为这是非常重要的，到了考场之后，我想你应该心情静下来，现在就是反映你的水平，原来复习什么样就什么样，然后你就仔细审题，哪个题会做就先做哪个，保证你会做的题一定要做对，不要全部做完了，不保证对，你费了半天劲得不着分，就不是你的目的了，这点希望大家注意。

    主持人：由于时间的关系，我们今天的访谈就要告一段落了，也非常感谢高老师的精彩解答，可能很多网友希望有交流的机会，这里提供了很好的平台，希望大家可以到我们平台继续交流，还有大家可以到华夏大地教育网进行交流，同时我们推出了一系列的自考活动，包括免费的串讲活动，在腾讯网上，大家也会看到，还有八日过自考，大家也可以登陆腾讯教育频道和华夏大地教育网察看相关的信息，感谢华夏大地教育网对这次活动的大力支持，也感谢高老师，也非常感谢网友的参与。我们这次的访谈就到这里结束了。